早稲田大学の入試問題にチャレンジ！！
本日は今年度の早稲田大学の入試問題にチャレンジしました。
数学［１］は素数の問題です。
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（※） ｎ² + １，２ｎ² + ３，６ｎ² + ５ がすべて素数である。
（１） ｎ＝５ｋ のとき、ｎは（※）を満たさないことを示せ。
（２） （※）を満たすようなｎはｎ＝１，２のみであることを示せ。
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（１）は「ｎ＝５ｋ」を「６ｎ² ＋ ５」に代入すれば、5の倍数になることが示されます。これは簡単ですね。
（２）は・・・どうやったらいいんでしょうか。方針が立てづらいですよね。
じつは（１）が誘導になっていて、「ｎ＝５ｋ」 のときはもう調べてありますから、「ｎ＝５ｋ±１」と「ｎ＝５ｋ±２」のときを調べればいいんですね。「ｎ＝５ｋ±１」を「２ｎ² + ３」に代入すれば5の倍数になりますし、「ｎ＝５ｋ±２」を「ｎ² + １」に代入するとこれも5の倍数になります。つまりｎが3以上の場合「ｎ² + １，２ｎ² + ３，６ｎ² + ５」のどれかが5の倍数になり、結果として素数にはならない、ということですね。
方針が立てられない場合は、素直に誘導に乗ってみるのがよい、という問題でした。簡単そうで難しいですよね。